25강. 함수

간략 요약

이 비디오는 고등학교 수학에서 중요한 개념인 함수에 대한 기본적인 이해를 돕기 위해 제작되었습니다. 함수는 대응 관계에서 시작하며, 정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 오직 하나씩만 대응되는 특별한 경우를 의미합니다.

• 함수는 원인과 결과의 관계를 파악하는 데 유용한 도구입니다.
• 함수의 그래프는 대응 관계를 시각적으로 표현한 것으로, 정의역과 치역을 파악하는 데 중요합니다.
• 두 함수가 같다는 것은 정의역과 공역이 같고, 대응 관계가 일치하는 것을 의미합니다.

함수 소개 및 기본 개념 [0:10]

함수는 중학교 때부터 배워온 개념이지만, 고등학교 수학에서 매우 중요하며 피할 수 없는 주제입니다. 함수는 대응이라는 개념에서 출발하며, 이는 일상생활에서 흔히 볼 수 있는 원인과 결과의 관계를 나타냅니다. 예를 들어, 햄버거 가게에서 메뉴를 선택하면 해당 햄버거가 나오는 것이나, 공부에 시간을 투자하면 성적이 향상되는 것 등이 대응의 예시입니다. 함수는 이러한 대응 관계 중에서 정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 오직 하나씩만 대응되는 특별한 경우를 지칭합니다.

함수의 정의와 예시 [2:56]

함수를 정의하기 위해서는 두 개의 집합, 즉 정의역과 공역이 필요합니다. 정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 하나씩 대응될 때, 이를 함수라고 합니다. 예를 들어, 정의역의 원소 1, 2, 3, 4가 각각 공역의 원소 1, 3, 4, 3에 대응되는 것은 함수입니다. 하지만 정의역의 원소 중 일부가 대응되지 않거나, 하나의 원소가 두 개 이상의 원소에 대응되는 경우는 함수가 아닙니다. 함수의 그래프는 이러한 대응 관계를 순서쌍으로 나타내고, 이를 좌표 평면 위에 시각적으로 표현한 것입니다.

정의역, 공역, 치역의 이해 [7:08]

정의역은 함수의 입력값들의 집합이고, 공역은 함수의 출력값이 될 수 있는 모든 값들의 집합입니다. 치역은 공역 중에서 실제로 정의역의 원소들이 대응되어 나타나는 함숫값들의 집합입니다. 함수 f에 대해 x값이 1일 때 함숫값 y값이 2라면, f(1) = 2로 표현할 수 있습니다. 함수의 그래프를 보고 정의역과 치역을 정확히 파악하는 것이 중요하며, 그래프의 좌우 범위는 정의역, 상하 범위는 치역을 나타냅니다.

함수의 동일성 및 그래프 판단 [12:39]

두 함수 f와 g가 같다는 것은 정의역과 공역이 서로 같고, 정의역의 모든 원소에 대한 대응 관계가 일치하는 것을 의미합니다. 함수식이 다르더라도 정의역과 공역에서의 대응 관계가 같다면 두 함수는 같은 함수입니다. 함수의 그래프를 통해 함수 여부를 판단할 때는 y축과 평행한 선을 그어, 그래프와 한 점에서만 만나야 합니다. 두 점 이상에서 만나거나, 만나지 않는 경우는 함수가 아닙니다. 이를 수직 테스트라고도 합니다.